Cuando las paredes hablan: epigrafías y geometría en yeserías y mosaicos de la Alhambra

El espacio interior de la Alhambra muestra la sofisticación de los revestimientos nazaríes (Mirador de Daraxa).

La arquitectura configura espacios que son delimitados (elementalmente) por planos y que se materializan en suelos, paredes y techos. En algunos casos, la experiencia de la arquitectura puede ir más allá del aprecio de los valores espaciales fundamentales (como la luz, escala, proporción, ritmo, texturas o colores) al verse intensificada por imágenes específicas o inscripciones explícitas, que proporcionan nuevas claves para su comprensión. En este sentido, la Alhambra es un prodigio.

Tras habernos aproximado al contexto (histórico, natural y urbano) y a la propuesta arquitectónica de la Alhambra, en este tercer artículo abordaremos el maravilloso revestimiento ornamental de sus muros interiores. Sus zócalos cerámicos fueron el soporte de soberbios ejercicios geométricos y sus yeserías superiores permitieron sofisticados juegos simbólicos que incorporaban caligrafías con mensajes concretos. En la Alhambra, Matemática, Poesía y Dibujo fueron invocados para hacer “hablar” a las paredes, buscando una comunicación con el espectador.

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Revestir el espacio interior de la arquitectura (suelos, paredes y techos)

Hay una expresión popular que dice “si las paredes hablaran…”. Con ello, se alude al testimonio que los muros podrían ofrecer si fueran capaces de narrar los acontecimientos que se producen junto a ellos. Pero, los paramentos arquitectónicos no graban las situaciones humanas que acogen y no pueden declarar sobre las mismas, aunque sí pueden ser “lienzos” en los que reseñar múltiples informaciones que atraviesen el tiempo.

La arquitectura configura espacios que son delimitados (elementalmente) por planos y que se materializan en suelos, paredes y techos. A partir de esta definición genérica, la arquitectura se enfrenta a una decisión en la que entran en juego cuestiones de índole constructiva. ¿Debe expresarse la tectónica de la superficie mostrando los materiales que la conforman? En muchos casos, la diversidad de materiales que construyen el espacio ha recomendado un revestimiento que proporcionara una lectura más unitaria del mismo. Se opta así por plantear una epidermis que oculte el sistema constructivo, abriéndose opciones para seleccionar el recubrimiento idóneo. En un planteamiento muy básico, se puede escoger entre materiales continuos (por ejemplo, enfoscados de yeso o morteros de cemento) y discontinuos, compuestos por piezas que ocultarán la base (tanto en pavimentos, con baldosas cerámicas, madera, linóleos, etc.; paramentos verticales, con pinturas, alicatados, panelados, etc.; o techos, con escayolas, falsos techos, etc.)

Revestimiento de muros interiores en la Alhambra: yeserías y mosaicos.

La decisión sobre las características del espacio no acaba allí porque, después debe afrontarse el “acabado” de esas superficies, abriéndose opciones ornamentales, con una casuística que es tan amplia como la creatividad de sus autores. No obstante, a lo largo del siglo XX, la ornamentación de la arquitectura quedó descalificada, atribuyéndole un perjuicio grave a la comprensión del espacio esencial. El Estilo Internacional promovido por el Movimiento Moderno la convirtió en un ejercicio proscrito. Pero estas ideas no se aplicaban en la arquitectura anterior al funcionalismo y la ornamentación (de pavimentos, muros interiores o techos) era una dimensión más de la experiencia interior de la arquitectura que complementaba los valores espaciales fundamentales como la luz, escala, proporción, ritmo, texturas o colores.

La ornamentación responde a estilos, estéticas y materiales, decide entre opciones abstractas o figurativas, pero también se traza según su propósito, es decir, según sea un fin en sí misma o un medio para otras metas. Un caso particular de esto último es el que plantea como objetivo la transmisión de mensajes explícitos, a través de imágenes específicas o de inscripciones que proporcionan nuevas claves de comprensión del espacio. Es decir, la “piel” del espacio queda “tatuada” con señales informativas, convirtiéndose en un canal de comunicación entre los creadores y los usuarios futuros del espacio, a los que “solamente” se les exige el conocimiento del código.

En este sentido, la Alhambra es un prodigio. La Alhambra nos recuerda que suelos, muros y techos pueden convertirse en planos expresivos capaces de enriquecer la experiencia espacial. No vamos a profundizar en la pavimentación, ya que la mayoría de los suelos originales del conjunto han sido sustituidos. Tampoco entraremos en detalle sobre los techos, en los que espléndidos juegos de tracería con madera (remarcando o no las claves constructivas de las cubiertas) y, sobre todo, los magníficos puzles en 3D que muestran las cúpulas de mocárabes, merecen un estudio aparte (sobre estos últimos, recomendamos los trabajos de investigación de Gaspar Aranda Pastor y la Universidad de Granada, que tuvieron el privilegio de analizar con detalle muestras reales de esas complejas construcciones).

Interior del Salón del Trono (o de Embajadores) de la Torre de Comares de la Alhambra.

En este artículo nos centraremos en el revestimiento de las paredes interiores de la Alhambra, por lo general divididos en dos partes, con una inferior alicatada (ofreciendo superficies duras, más resistentes al desgaste cotidiano) y otra superior enlucida (donde la versatilidad del yeso permite la aparición de trabajos de gran dificultad). El zócalo alicatado fue el soporte para realizar soberbios ejercicios matemáticos que todavía sorprenden a los científicos actuales, mientras que las yeserías superiores, permitieron sofisticados juegos simbólicos que conjugaban caligrafías con ornamentaciones abstractas de gran belleza. Aunque hay una frecuente asociación entre superficie material y la ornamentación que recibe (por ejemplo, los mosaicos con lo geométrico o las yeserías con las inscripciones), esta no es exclusiva. Destacan también las celosías que separan sin separar del todo y que se convirtieron en otra maravilla de la artesanía nazarí, con espectaculares entrelazados que, en algún caso, encuentran eco en mosaicos que actúan como un reflejo especular.

En la Alhambra floreció un arte hispano árabe que cerraría el ciclo del arte musulmán en la península ibérica y que alcanzó su máximo esplendor en el siglo XIV. Allí y entonces, Matemática, Poesía y Dibujo fueron invocados para ofrecer los tres tipos principales de decoración de los muros de la Alhambra: los motivos geométricos, los epigramas y los temas vegetales, que hacen “hablar” a las paredes, buscando comunicar con el espectador.

[Al final del artículo incluimos un apéndice en el que se exponen brevemente las consideraciones matemáticas de base para la realización de los magníficos y sorprendentes mosaicos y frisos geométricos de la Alhambra].

Las paredes interiores de la Alhambra (1. Mosaicos y geometría)

En el arte islámico, la geometría (impulsada por la ausencia de figuración) busca la representación del universo, abstrayendo la realidad del cosmos o de la naturaleza. De esta forma, la multiplicidad y la repetición se convierten en el camino hacia la unidad, hacia la conexión con Allah.

La geometría está presente en los zócalos cerámicos y también en las yeserías, pero es quizá en los azulejos que recubren la parte inferior de las paredes donde se expresa con mayor espectacularidad. Hay algún caso en el que los mosaicos son sencillas repeticiones de módulos cuadrados que combinan los colores típicos: blanco, rojo, amarillo, azul, verde, negro (el cuadrado es el símbolo divino en el islam, frente al triángulo de la tradición cristiana). No obstante, esa simplicidad puntual se supera ampliamente con las complejas composiciones que parten también del cuadrado (por ejemplo, creando octógonos) y juegan con las proyecciones de sus líneas, generando intrincadas lacerías de una belleza apabullante. 

Muestras diferentes de mosaicos geométricos en la Alhambra.

La fascinación no termina en esas admirables superficies porque la Alhambra también muestra mosaicos compuestos por una serie de piezas especiales que constituyen una “familia” propia: los polígonos nazaríes.

Pero tampoco acaba allí el asombro que produce la geometría en la Alhambra. La Matemática demostró en el siglo XIX que, para rellenar un plano a través del movimiento de un motivo original, es decir utilizando traslaciones, rotaciones y simetrías del mismo, solamente existen 17 opciones diferentes. Sorprendentemente, los artistas nazaríes, con su aplicación e intuición, propusieron, muchos siglos antes, todas las combinaciones (ni una más, porque, aunque ellos no lo sabían, era imposible, pero ni una menos). Esto aporta otra singularidad a la Alhambra, porque es el único monumento en el mundo en el que se han encontrado representadas las 17 composiciones posibles.

Los polígonos nazaríes.

Sabemos que los polígonos regulares que completan un plano repitiéndose a sí mismos son solamente tres, y que hay hasta ocho combinaciones entre ellos con el mismo efecto (ver apéndice de este artículo). Los constructores de la Alhambra eran perfectamente conocedores de esta ley geométrica. Los mosaicos que recubren los zócalos de los muros lo demuestran. En ellos, los artistas nazaríes utilizaron algunas de esas piezas regulares, mayoritariamente el cuadrado, como hemos comentado, aunque, su gran contribución fue el diseño de nuevas piezas que evolucionando desde la forma básica (básicamente el cuadrado y el triángulo equilátero), constituyeron una “familia” propia.

Son mosaicos irregulares, creados según el principio de conservación del área, aunque no de la forma. El procedimiento es sencillo: partiendo de un polígono, se extrae superficie interior desde un lado y se suma a otro (con una rotación) para proponer después ensamblajes variados que permiten colmatar el plano. Las piezas del mosaico final suelen presentar juegos de colores que ayudan a identificar las teselas. Veamos alguno de los más conocidos:

El avión

Partiendo del cuadrado, se dibujan triángulos rectángulos interiores, escalenos (30⁰/60⁰/90⁰) e iguales sobre dos lados contiguos, que actúan como hipotenusa. Los vértices no compartidos ejercen de pivote para un giro de 270⁰, hasta que cada hipotenusa coincide con el lado adyacente. La figura resultante es conocida como el “avión”.

Hay una versión del “avión” que se construye de la misma manera, pero el sector trasladado no es un triángulo rectángulo puro, porque los dos catetos están curvados. El resultado es similar, pero mientras la primera forma es rectilínea, esta segunda queda delimitada por curvas.

El pez volador

La base se encuentra también en el cuadrado. En uno de sus vértices se definen dos pequeños triángulos interiores (adosados a cada lado y reunidos en dicho vértice) que son girados 90⁰ respecto al vértice contiguo. El resultado final ha sido equiparado a un “pez volador”.

Polígonos nazaríes. A la izquierda construcción del “avión” y muestra de la Alhambra. A la derecho, muestra del “pez volador” y su construcción geométrica.

El hueso

Nuevamente, tomando un cuadrado como base se dibujan en su interior dos trapecios iguales, en dos lados opuestos. Estos trapecios tienen dicho lado como base mayor, sus dos lados menores son diagonales a 45⁰ y la base menor, es paralela a la otra por la mitad. Estas dos construcciones son giradas 360⁰ respecto a uno de sus vértices para aparecer adosadas a los lados libres como un complemento exterior. La figura resultante se asemeja a un “hueso”.

La pajarita

Partiendo esta vez del triángulo equilátero, sobre la mitad de cada lado, de forma alterna, se dibuja un arco (de manera que el lado parcial escogido actúa como cuerda del segmento circular). Los tres segmentos circulares giran 180⁰ pivotando sobre el punto central de cada lado del triángulo (que es extremo del segmento) hasta que la cuerda coincide con el lado que se había respetado. La figura resultante es conocida como la “pajarita”. En ciertos casos, las “pajaritas” albergan en su interior un hexágono “sólido” o estrellado (conformado por dos triángulos equiláteros cruzados).

El pétalo

En este caso, la figura de partida es un rombo (dos triángulos equiláteros). Sobre los lados de uno de los vértices agudos se dibuja un arco interior. El segmento circular resultante, de forma similar a lo explicado en la “pajarita”, gira 240⁰ grados hasta adosarse como un complemento exterior al lado contiguo (haciendo coincidir la cuerda del segmento, el antiguo lado, con el lado receptor). El resultado final recuerda un “pétalo”.

No son los únicos polígonos nazaríes, aunque sí los más frecuentes y característicos que conforman paños alicatados completos en la Alhambra. También encontramos frisos cerámicos (habitualmente separando el mosaico de la yesería) que disponen de motivos particulares.

Polígonos nazaríes. El “hueso”, la “pajarita” y el “pétalo” con su respective polígono base y su transformación.

La Alhambra y las 17 combinaciones para “rellenar” un plano.

Los mosaicos de la Alhambra son un ejercicio matemático sorprendente. Como hemos adelantado, la ciencia ha confirmado que solamente existen 17 casos posibles para rellenar un plano a partir del movimiento (traslaciones, giros y simetrías) de un motivo dado (ver apéndice de este artículo). El matemático ruso Evgraf Fedorov se encargó de esa demostración en 1891 (Teorema de Fedorov) pero, casi cinco siglos antes, los constructores de la Alhambra habían llegado a la misma conclusión. Los diecisiete modelos posibles, que conocemos desde el descubrimiento de los rayos X y de la Teoría de Grupos Cristalográficos Planos, se encuentran presentes en los mosaicos de la Alhambra.

A partir del enunciado de esa ley, los investigadores matemáticos pusieron a prueba muchos de los monumentos en los que la decoración periódica del plano es relevante. Así en 1964, László Fejes Tóth, en su obra “Regular Figures”, comentaba, aunque sin pruebas, su convicción de que en la Alhambra estaban representados todos los modelos posibles; pero, por el contrario, en 1984, Branko Grünbaum y Geoffrey Colin Shephard afirmaban, en su libro “Tilings and patterns”, que solamente habían encontrado trece variantes. Con estas dudas como base, Rafael Pérez Gómez, doctor en Matemáticas y profesor titular del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Granada (que imparte clases en la Escuela de Arquitectura de Granada), se dedicó a buscar e identificar ejemplos de cada uno de los diferentes tipos, pudiendo confirmar que los artistas nazaríes habían realizado, al menos un ejemplo de cada tipo (el último en descubrirse fue el damero triangular, p3m1, situado en la Sala de las Dos Hermanas). Pérez Gómez presentó sus conclusiones en su comunicación “Un matemático visita la Alhambra”, dentro de la Semana Europea para la Ciencia y la Tecnología en su edición de 2004, que se celebró en Granada.

Siguiendo sus explicaciones veamos un ejemplo que utiliza el polígono nazarí “avión” como base (las figuras referenciadas en el texto pueden verse en la ilustración adjunta, extraída del trabajo citado).

“…se construyó el Palacio de Comares, a cuya decoración geométrica corresponde el mosaico que voy a analizar. Se trata del alicatado que se encuentra en el interior de las tacas enfrentadas del pasillo que comunica la Sala de la Barca con el Salón del Trono (…).

¿Qué puedo ver como matemático en él? La figura 8 reproduce su diseño básico -es decir, las líneas por las que se unen las teselas-. Podemos observar que hay una tesela básica (la unidad), ver figura 9, en la cual se encuentra el diseño mínimo necesario para reproducir el mosaico completo (la multiplicidad) sometiéndola a las transformaciones de un grupo cristalográfico plano, de tipo p4g, cuyos generadores pueden ser una rotación, de amplitud π/2 y centro C, y una reflexión a cuyo eje, L, no pertenezca C. La región unidad está formada por 8 teselas básicas y puede verse en la figura 10. Tanto la tesela básica como la región generatriz no son únicas. Las figuras 11 y 12 muestran otra tesela básica y la correspondiente región generatriz, respectivamente. Sin embargo, todas las teselas básicas tienen igual área”.

Imagen procedente del trabajo “Un matemático visita la Alhambra” de Rafael Pérez Gómez, en la que se analizan posibles movimientos a partir del “avión” nazarí.

Las paredes interiores de la Alhambra (2. Epigrafías y otros motivos)

Escribir en las paredes es una tentación inmemorial. La afición humana a grabar mensajes en los muros es directamente proporcional a la importancia del lugar. Estas “firmas” espontáneas adoptan diferentes procedimientos, desde las rudimentarias inscripciones populares (del tipo “yo estuve aquí”), realizadas con algún objeto punzante, hasta los recurrentes grafitis que inundan nuestras ciudades.

No obstante, esas inscripciones también pueden ser premeditadas e integrarse en la arquitectura, un hecho frecuente en determinadas construcciones monumentales, particularmente en las islámicas. En la arquitectura musulmana, los paramentos verticales, y más concretamente sus revestimientos interiores, son elaborados con esmero, en una expresión obsesiva del “miedo al vacío” (horror vacui) definido por los historiadores del arte. La ornamentación abstracta de esos muros, parte de la prohibición de representaciones figurativas y se fundamente en la convicción de que los “mantras”, en este caso elementos gráficos seriados y repetitivos, favorecen la meditación. En esos complejos recubrimientos murarios, el islam introduce textos explícitos que contienen mensajes de carácter diverso.

Estos textos adoptan formas caligráficas ornamentales que, además de transmitir mensajes, se convierten en un juego compositivo y decorativo de gran calidad y belleza. El contenido refleja en muchas ocasiones textos sagrados del Corán, aunque también pueden hacer referencia a la vida y las gestas del sultán promotor, informar de cuestiones referentes a la propia arquitectura que alberga los escritos, o ser poesías para el disfrute o la reflexión del lector. En cualquier caso, las inscripciones eran un instrumento de propaganda y de difusión ideológica por parte del poder. Su encaje en la decoración general se ajusta a diversas formas, encontrándose en largas bandas en la yesería o en medallones circulares, principalmente.

Yesería en la Alhambra con epigrafía, lacerías y atauriques.

La Alhambra se convierte en un ejemplo de todo esto, hasta el punto de que sus paredes son consideradas como las páginas de un libro en las que sus creadores dejaron escritos numerosos y variados mensajes. Esta idea, que presenta a la Alhambra como la edición más espectacular del mundo, se ha repetido en numerosas ocasiones y sirve de base para argumentar que sus paredes hablan, quieren decirnos algo, comunicarnos datos, informaciones, experiencias, transmitidas por emisores ya desaparecidos.

La escritura en la Alhambra está vinculada a los denominados “poetas funcionarios” entre los que destaca la producción de tres que realizaron su obra en la época de los grandes sultanes. Fueron Ibn Yayyab (1261-1348), Ibn al-Jatib (1313-1375) e Ibn Zamrak (1333-1393), cada uno de los cuales fue discípulo del anterior. La obra general de estos autores ha sido traducida, analizada y evaluada por diversos especialistas que también, como parte de la misma, han dedicado su atención a la transcripción de los mensajes de la Alhambra. Es particularmente relevante la obra de Emilio García Gómez, arabista y traductor que dedicó dos de sus últimos trabajos al análisis de la Alhambra: “Poemas árabes en los muros y fuentes de la Alhambra” (Instituto Egipcio de Estudios Islámicos. Madrid, 1985) y “Un foco de antigua luz sobre la Alhambra” (Instituto Egipcio de Estudios Islámicos. Madrid, 1988) aunque su interés venía de lejos ya que su discurso de ingreso en la Real Academia de Historia en 1943 versó sobre “Ibn Zamrak, el poeta de la Alhambra”.

Detalle de epigrafía en la Alhambra, acompañada de atauriques rellenando el espacio.

Los escritos de la Alhambra tienen contenidos muy diversos. Quizá el mensaje más repetido en la Alhambra sea “Solo Dios es vencedor” que fue escogido por Muhammad I como el lema de la dinastía nazarí (aunque no es una frase del Corán), pero entre ellos hay poemarios, alabanzas al sultán correspondiente, reseñando su gobierno o las gestas realizadas durante su mandato, textos sagrados del Corán y también información sobre cuestiones relacionadas con el espacio concreto donde se encuentran, sobre su función o circunstancias de construcción. Estos datos han sido fundamentales para comprender adecuadamente el conjunto de la Alhambra. Hay que considerar que, en la arquitectura islámica, la relación entre forma y función no es exclusiva, ya que un mismo espacio puede albergar diferentes funciones y una misma función puede adoptar distintas formas arquitectónicas. Así, por ejemplo, las inscripciones de la Sala de las Dos Hermanas han permitido entender su misión original. Los textos fueron escritos por Ibn al-Jatib en 1362 informando de su cronología y explicando que la función de la sala era servir de mexuar del sultán, un mexuar representativo frente a otro más administrativo contiguo que ha desaparecido (hay que recordar que en esa fecha el Patio de los Leones todavía no existía).

Hay una disciplina específica para estudiar e interpretar esas inscripciones antiguas que dejaron nuestros ancestros. Es la Epigrafía, cuya misión consiste en descifrar aquellos textos dejados para la posteridad y poder así completar nuestra comprensión de la historia.

Desentrañar los mensajes de la Alhambra se convirtió en una tarea desde el siglo XVI, aunque desarrollada con más o menos acierto, hasta que el estudio de las inscripciones dio un giro a partir de la segunda mitad del XIX, cuando ilustres arabistas como Emilio Lafuente se enfrentaron al tema.  El Patronato de la Alhambra está realizando en los últimos años un proyecto de Investigación junto con la Escuela de Estudios Árabes del CSIC para inventariar el contenido epigráfico de la Alhambra. El ingente trabajo se está ejecutando por fases. Se ha editado el primer libro/DVD-ROM correspondiente al conjunto de Comares, que recoge 3.116 inscripciones: “Corpus Epigráfico de la Alhambra. N°1. Palacio de Comares” (Ed. Patronato de la Alhambra y Generalife; Escuela de Estudios Árabes (CSIC), 2008). Otro trabajo de gran interés es el de José Miguel Puerta Vílchez “Leer la Alhambra. Guía visual de la Alhambra a través de sus inscripciones” (Ed. Patronato de la Alhambra y Edilux, con la colaboración de la Fundación Ibn Tufayl de Estudios Árabes, 2012).

Yesería de la Alhambra con identificación de sus motivos más habituales (incirpciones, atauriques y lacerías)

Generalmente, la caligrafía de los textos se ve acompañada por otros motivos que la completan, formando composiciones muy elaboradas. Estos motivos representan formas vegetales variadas (hojas de acanto, piñas, palmas, flores, etc.) y adoptan complejos entrelazados que han llegado a convertirse en una referencia artística (los “arabescos”). Estos motivos vegetales (también denominados atauriques) abstraen la realidad y fuerzan su geometrización. Pero más allá de complementar las inscripciones textuales, en la mayoría de las ocasiones su presencia es autónoma formando frisos lineales o rellenando superficies más extensas. En procedimiento frecuente es el de la creación de un molde modular que se repite a lo largo de la superficie (cuestión que entronca con la tradición descrita en los “ejercicios matemáticos”)

Ornamentación de muros con motivos vegetales (atauriques) en la Alhambra.

La complejidad de la Alhambra permite múltiples lecturas. Desde arquitectónicas hasta literarias o matemáticas, entre otras, como hemos visto. Y después de muchas décadas de estudio y profundización en los más diversos campos, la Alhambra todavía sigue ofreciendo sorprendentes descubrimientos a sus investigadores. Y, por supuesto, el evocador conjunto continúa inspirando a artistas que lo reconocen como una inagotable fuente que nutre su arte.

Uno de los grandes admiradores de los mosaicos de la Alhambra fue el artista holandés M.C. Escher, quien visitó los palacios granadinos dos veces, en 1922 y en 1936, como fuente de inspiración para su conocidísima obra.

El conocido mosaico-puzzle de los lagartos de M.C. Escher y la construcción del elemento base a partir de transformaciones que conservan el área de la pieza.

Apéndice: Ejercicios matemáticos para revestir/teselar planos.

La Arquitectura y las Matemáticas tienen muchos puntos de encuentro. Uno de ellos es el estudio del revestimiento de superficies por medio de piezas que siguen un patrón. No obstante, las matemáticas se abstraen y consideran planos teóricos donde experimentar, mientras que la arquitectura aplica sus resultados a la práctica de pavimentos, alicatados o techos.

La Matemática estudia las opciones para rellenar una superficie plana con piezas que se repiten periódicamente y que cumplen la condición de que no deben solaparse ni dejar hueco entre ellas. El conjunto formado recibe el nombre de mosaico y las piezas se denominan teselas (por eso se dice “teselar un plano”)

Así pues, la pregunta inicial es: ¿Podemos recubrir una superficie utilizando un único elemento reiterado? Responder a esta pregunta nos dirige, en primer lugar, hacia el mundo de los polígonos regulares (lados y ángulos iguales). Solo existen tres polígonos regulares capaces de satisfacer esa condición por sí mismos: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono (es necesario que en cada vértice en el que se encuentran las piezas, los ángulos sumen exactamente 360⁰, cosa que solamente sucede con esas tres figuras, que ofrecen ángulos de 60⁰, 90⁰ y 120⁰ respectivamente). Forman los denominados mosaicos regulares, cuyas líneas de separación crean tramas regulares y homogéneas, sean triangulares, cuadradas o hexagonales. Cualquier otro polígono regular (pentágono, octógono, etc.) no sirve para revestir completamente por sí mismo (sus ángulos nunca sumarían 360⁰ exactamente). Para referirse a los mosaicos formados por polígonos regulares suele utilizarse el denominado símbolo de Schläfli, una sucesión de números, cada uno de los cuales identifica el número de lados de los polígonos que coinciden en cada vértice de la trama. Así tenemos:

· M1: 3, 3, 3, 3, 3, 3 = 3⁶ (en cada vértice coinciden seis triángulos equiláteros, 60⁰ x 6 = 360⁰)

· M2: 4, 4, 4, 4 = 4⁴ (en cada vértice coinciden cuatro cuadrados, 90⁰ x 4 = 360⁰)

· M3: 6, 6, 6 = 6³ (en cada vértice coinciden tres hexágonos, 120⁰ x 3 = 360⁰)

(un caso particular que también completa el plano, surge a partir del cuadrado, utilizando paralelogramos para la formación de los mosaicos)

Los tres mosaicos regulares posibles.

La pregunta anterior alcanza una nueva dimensión cuando se acepta la utilización de varias piezas diferentes (aunque igualmente regulares). El número de opciones se amplía hasta las únicas ocho posibilidades de combinación que descubrió Kepler. Esos mosaicos reciben el nombre de mosaicos semirregulares uniformes. En cada vértice de la trama que se constituye se deben reunir siempre las mismas figuras y en el mismo orden. La identificación de los ocho casos es la siguiente:

· M4: 4, 6, 12 (en cada vértice coinciden un cuadrado, un hexágono y un dodecágono)

· M5: 4, 8, 8 = 4, 8² (en cada vértice coinciden un cuadrado y dos octógonos)

· M6: 3, 12, 12 = 3, 12² (un triángulo equilátero y dos dodecágonos)

· M7: 3, 6, 3, 6 (dos cuadrados y dos hexágonos alternos)

· M8: 3, 4, 6, 4 (triángulo equilátero, cuadrado, hexágono y finalmente otro cuadrado)

· M9: 3, 3, 3, 3, 6 = 3⁴, 6 (cuatro triángulos equiláteros seguidos y un hexágono final)

· M10: 3, 3, 4, 3, 4 =3², 4, 3, 4 (dos triángulos equiláteros, seguidos de un cuadrado, otro triángulo y, de nuevo, un cuadrado final)

· M’10: 3, 3, 3, 4, 4 = 3³, 4² (en cada vértice coinciden tres triángulos equiláteros seguidos y posteriormente dos cuadrados)

Representación de los ocho mosaicos semirregulares posibles.

El mundo del mosaico irregular se adentra en un mundo de posibilidades infinitas que, en algunos casos muy concretos, se aproxima a la formulación matemática. Esto sucede cuando las piezas que lo componen son originadas a partir de transformaciones de los tres polígonos regulares citados. El proceso de generación para ello, supone sustracciones y adiciones de superficies que cambian de posición mediante giros, aunque manteniendo el área total del elemento inicial, como hicieron los polígonos nazaríes. Cualquier otra opción, incluso también esta misma, tiene que ver más con la creatividad artística que con la Matemática (otro ejemplo muy conocido es la ya mencionada obra de M.C. Escher).

Construcción y desarrollo del polígono nazarí denominado “pajarita”. A la derecho ejemplo en el que se aprecia la combinación de cuatro piezas diferentes procedentes de la descomposición de la misma (hexágono, estrella hexagonal, y las dos puntas curvadas de la pajarita, diferentes en su base para adaptarse a los anteriores)

Más allá de estas composiciones “estáticas”, aparecen las combinaciones “dinámicas” que surgen a partir del movimiento de motivos en el plano hasta completar la superficie de trabajo. Existen tres movimientos en el plano que son isométricos (es decir, conservan las dimensiones originales de la pieza):

1. Traslación. La pieza incorporada es igual que la preexistente, y para ocupar su posición solamente ha sufrido un desplazamiento (sin ningún tipo de giro).

2. Rotación (giro). La nueva pieza, igual a la preexistente encuentra su posición gracias a un giro lo cual implica la existencia de un centro fijo en un punto determinado y la concreción de un ángulo de rotación concreto.

3. Reflexión (simetría). La nueva pieza es similar a la preexistente, aunque es una imagen especular de la misma, producida gracias a un eje de simetría determinado.

Los tres movimientos posibles de un motivo en el plano (traslación, rotación y reflexión)

A partir de estos tres procedimientos se pueden realizar movimientos compuestos como la simetría con deslizamiento en la que en primer lugar se produce una reflexión y acto seguido una traslación en la dirección del eje de simetría

El caso de revestimiento superficial más sencillo es el friso. Un friso es una banda larga utilizada frecuentemente en decoración arquitectónica para marcar determinadas transiciones superficiales diferenciando los planos. En matemáticas, un friso es “una región del espacio de longitud infinita, pero de anchura finita, limitada por dos rectas paralelas, que se cubre a partir de la aplicación de movimientos en el plano de una determinada figura”. Las matemáticas demostraron que solo existen siete opciones de generación:

· p1 (friso de las traslaciones): traslaciones del motivo

· pm (friso de las traslaciones y la simetría horizontal): traslaciones del motivo más reflexión por eje horizontal.

· p/m (friso de las traslaciones y la simetría vertical): traslaciones del motivo más reflexión por eje vertical.

· pg (friso de las traslaciones y del deslizamiento): traslaciones del motivo más reflexión deslizada.

· p2 (friso de las traslaciones y del giro de 180⁰): traslaciones del motivo más rotación de 180⁰

· p2m (friso de las traslaciones, el giro de 180⁰ y las simetrías horizontales): traslaciones del motivo más rotación de 180⁰ más reflexión (o bien doble reflexión, horizontal y vertical).

· p2g (friso de las traslaciones, la simetría vertical y el deslizamiento): traslaciones del motivo más rotación de 180⁰ más reflexión deslizada.

Identificación de los siete casos posibles de friso a partir de los movimientos de una motivo inicial.

Cuando la longitud es infinita y también lo es la anchura, las matemáticas hablan de construcción de mosaicos. En este caso la ciencia descubrió que solamente existen 17 posibilidades:

· p1: Dos traslaciones

· p2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º)

· p3: Dos giros de 120º

· p4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º

· p6: Una simetría central y un giro de 120º

· pm: Dos simetrías axiales y una traslación

· pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (por ejemplo, 2 horizontales y 2 verticales)

· pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales

· cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central

· p31m: Una simetría axial y un giro de 120º

· p3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60)

· p4g: Una simetría axial y un giro de 90º

· p4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90

· p6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90

· cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular

· pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas

· pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares

Identificación de los diecisiete casos posibles de mosaico a partir de los movimientos de una motivo inicial (esquemas realizados por la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales) (1 de 4)

Identificación de los diecisiete casos posibles de mosaico a partir de los movimientos de una motivo inicial (esquemas realizados por la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales) (2 de 4)

Identificación de los diecisiete casos posibles de mosaico a partir de los movimientos de una motivo inicial (esquemas realizados por la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales) (3 de 4)

Identificación de los diecisiete casos posibles de mosaico a partir de los movimientos de una motivo inicial (esquemas realizados por la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales) (4 de 4)

Ahora bien, una cosa es la pieza que recubre el plano (la tesela) y otra el motivo decorativo que se repite según el patrón establecido por los movimientos posibles. Pueden coincidir o no. En ocasiones, motivo y tesela se corresponden exactamente, pero en otros, son diferentes, bien porque el motivo se componga de pequeñas teselas o bien porque la tesela tenga la misma forma, por ejemplo, cuadrada, pero una grafía interior diferenciable, siendo los movimientos los que generen la variedad.

En ocasiones el soporte puede no coincidir con el motivo, como en este caso en el que el motivo se conforma por pequeñas teselas. Friso del tipo “pm” (traslaciones del motivo más reflexión por eje horizontal). El motivo se recuadra en amarillo.