Delimitación racional e irracional de territorios: aproximación a los Diagramas de Voronoi (y al sorprendente caso del mapa provincial español)

La correspondencia entre el plano de las provincias de la España peninsular y el Diagrama de Voronoi asociado a las capitales es sorprendente, más aún cuando al definir el primero faltaban muchos años para la formulación del segundo.

La sorprendente correspondencia entre la distribución provincial de la España peninsular y el Diagrama de Voronoi, construido a partir de la localización de las capitales, invita a reflexionar sobre los sistemas de organización territorial, que se mueven entre la irracionalidad (propiciada por avatares históricos, geográficos e incluso emocionales) y la racionalidad (que busca fórmulas objetivas, modelizables y pragmáticas)

Entre estos se encuentran los Diagramas de Voronoi, que dividen el espacio siguiendo criterios de proximidad, de cercanía a una serie de puntos de referencia. Su aplicación práctica abarca numerosos campos, siendo el urbanismo uno de los más destacados. En esta disciplina son muy útiles para analizar áreas de influencia de determinados servicios, para establecer recorridos óptimos o para evaluar la afección en un entorno de la implantación de ciertos elementos, entre otras cuestiones.

Esta técnica recibió un impulso extraordinario gracias a las posibilidades ofrecidas por los algoritmos desarrollados en la geometría computacional, hasta el punto de convertirse en una herramienta de análisis muy importante en los Sistemas de Información Geográfica (SIG), en la mapificación de resultados de big data o en aplicaciones de web mapping, wayfinding o sistemas de navegación, todos ellos imprescindibles en el mundo actual.

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La repartición de territorios y el sorprendente caso del mapa provincial de la España peninsular.

El planeta está repartido entre diferentes naciones soberanas que han obtenido su delimitación tras muchos avatares históricos. Esta distribución nunca es definitiva porque hay continuas variaciones, incluso en la aparente calma de la actualidad. Unas veces son de carácter menor, como los reajustes puntuales de líneas fronterizas derivados de disputas entre países, pero en otras ocasiones, son muy notables como la constitución de nuevos países (por ejemplo, Sudan del sur) o la desaparición-transformación de otros (como sucedió con la Unión Soviética o la desintegración de Yugoslavia).

El establecimiento de las fronteras entre países tiene sus causas fundamentales en la historia y en la geografía. Así, la delimitación de los territorios nacionales responde a la formación de los pueblos y a sus conquistas y pérdidas a lo largo de los siglos, teniendo mucho que ver en ello la existencia de accidentes geográficos relevantes. Una muestra de ello puede ser la cordillera de los Pirineos que separa España y Francia. Aunque la supuesta precisión indicada por la línea que une las cumbres, que deja Francia al norte y España al Sur de la misma, no es tan exacta como pueda parecer y presenta irregularidades a la norma (entre otras, por ejemplo, el valle de Arán, que siendo español se encuentra en la vertiente septentrional). También los cauces fluviales han sido fronteras tradicionales. Por ejemplo, el río Rin (Rhein), que formó parte del limes que separaba el Imperio Romano de las tierras de los bárbaros del norte, y que continua en la actualidad con esa misión en ciertas partes de su recorrido delimitando los estados de Alemania, Suiza y Francia (generando algún lugar tan singular como el trifinio de Basilea). En estos casos, aunque no hay una racionalidad directa, sí hay pragmatismo en el aprovechamiento de las características físicas del territorio. No obstante, a todas estas consideraciones políticas y geográficas se les deben sumar otras de carácter emocional e identitarias que hacen que la ordenación de los territorios sea todavía más compleja (y resueltamente irracional).

Ejemplos de delimitación territorial apoyada en los accidentes geográficos: montañas como es el caso de España, Francia y Andorra con la cordillera pirenaica; o ríos como el Paraná y el Iguazú que separan Argentina, Brasil y Paraguay.

Ahora bien, si descendemos de escala, eludiendo las cuestiones nacionales y nos remitimos al ámbito interno de un país, en el que el dramatismo político cede ante la operatividad de la gestión del día a día, las decisiones adquieren un tono muy distinto. En esta escala aparecen criterios prácticos, priorizando modelos abstractos que eviten la discusión y la confrontación de intereses al asignar tierras de cultivo entre colonos o al compartimentar determinados recursos. Un sistema original fue el utilizado en la organización de buena parte del territorio de los Estados Unidos que siguió lo establecido en la Land Ordinance de 1785, basada en la ubicación de ciertos meridianos y paralelos terrestres. Otro caso, con una inspiración más matemática, fue la distribución que siguieron los romanos imperiales con sus centuriaciones. Estas técnicas que, en ambos casos fueron dictadas por gobiernos distantes, muestran apoyaturas geográficas o geométricas abstractas, acercándose a la aplicación racional de principios de distribución (aunque tengan sus matices). 

Ejemplos de delimitación territorial no basada en los accidentes geográficos: la centuriación del imperio romano en el área de Bolonia; o la sistemática propuesta por la Land Ordinance de 1785 que distribuyó el territorio a partir de los meridianos y paralelos terrestres.

En la repartición territorial de estas escalas menores (provincias, por ejemplo), uno de los criterios que adquiere mucha relevancia es la proximidad entre los municipios y su ciudad de cabecera, de la que dependen para recibir muchos servicios fundamentales. Desde luego, esta distribución no está exenta de razones históricas, geográficas o identitarias, pero estas ceden en gran medida ante el pragmatismo de la cercanía.

Un caso digno de atención fue la división provincial de la España peninsular moderna. Tras varias propuestas realizadas a principios del siglo XIX se aprobó, en 1833, la ordenación que sería conocida con el nombre del Secretario de Estado de Fomento que la validó, Javier de Burgos. Este mapa presenta una organización territorial que aprovechó algunas de las delimitaciones previas, pero planteó una nueva distribución de capitales y provincias que supuso un acierto, como demuestra el hecho de que, salvo alguna corrección puntual, sigue estando vigente en la actualidad, casi doscientos años después.

El asombro que produce este plano provincial de España no es debido a esta perdurabilidad sino a su ajuste al Diagrama de Voronoi construido tomando las diferentes capitales peninsulares como un punto generador. Este diagrama, de cuya mecánica y características hablaremos en el apartado siguiente, determina las áreas que reúnen los puntos más cercanos a un punto de referencia dado y se obtiene con un procedimiento estrictamente geométrico (y, en consecuencia, racionalizado). Y es, precisamente, esta adecuación entre el modelo racional y la realidad administrativa lo que llama la atención, teniendo en cuenta que el territorio no es homogéneo y tiene sistemas montañosos y ríos entre otros accidentes geográficos que condicionan las distancias internas y que las delimitaciones se fijaron a principios del siglo XIX, cuando Voronoi, el matemático ucraniano que formuló definitivamente el sistema, no había nacido todavía.

La similitud entre el plano de las provincias de la España peninsular y el Diagrama de Voronoi asociado a las capitales puede explicarse en parte por la utilización intuitiva del criterio de cercanía entre capital y municipios, así como por el aprovechamiento de los rasgos del relieve para la ubicación de algunas capitales que fueron designadas en función del territorio disponible.

No obstante, hay algunas razones para explicar esa aproximación tan fascinante. La distribución que propuso el mapa de 1833 partía de la localización de las ciudades que fueron designadas como capitales de provincia y algunas de ellas (más allá de las que, por importancia histórica o niveles de población, eran incuestionables) recibieron esa distinción por su centralidad en un determinado entorno geográfico. Esto es una primera razón de la adecuación entre mapa y diagrama ya que el “punto generador” surge desde de la región y no al revés como propone el modelo. Por otra parte, la cercanía a la capital, que sería el motivo generador del Diagrama de Voronoi en este caso, fue también el criterio de los diseñadores del mapa provincial, aunque lo aplicaran de una manera intuitiva. Esto era fundamental porque las capitales tenían la responsabilidad de ofrecer una serie de servicios administrativos y generales para los municipios de su entorno y la cercanía era un tema prioritario para reducir y optimizar las distancias en un tiempo en el que los desplazamientos eran complicados (y peligrosos). Los desajustes son pocos y a veces se explican por la orografía o por adhesiones histórico-identitarias y, en cualquier caso, su análisis suele expresar ciertas peculiaridades territoriales que tiene el país.

En general, la partición territorial y el nivel político (nacional, regional, etc.) en el que se está trabajando tienen una estrecha relación y hay criterios que resultando convenientes en determinada escala pueden ser contraproducentes en otra, hasta el punto de producir casos cómicos. Un ejemplo de esto se produce al utilizar el criterio de proximidad a la capital nacional para delimitar los países (suponiendo además que hubiera equivalencia entre esas ciudades y el territorio fuera homogéneo, lo cual es una gran fantasía). 

Jason Davies, un especialista en visualización de datos en mapas, construyó el Diagrama de Voronoi según las capitales de los países (suponiendo la equivalencia entre esas ciudades y la isotropía del territorio, lo cual es una gran fantasía).  Los resultados de su World Capitals Voronoi son muy curiosos (y muy desajustados con la realidad) como puede apreciarse en el detalle de la península ibérica. Se aprecia como Sevilla se convertiría en portuguesa por estar más cerca de Lisboa que de Madrid; Cádiz sería marroquí; o una parte del litoral mediterráneo, argelino. Además, el noreste peninsular (Navarra, Aragón, Cataluña) así como el sur de Francia, pasarían a depender de una capital como ¡¡Andorra!!

Este experimento lo realizó un especialista en visualización de datos en mapas, Jason Davies, con su World Capitals Voronoi. El resultado es un Diagrama de Voronoi muy desajustado con la realidad y digno de comentarios jocosos. En el caso de la Península Ibérica, se aprecia como Sevilla pasaría a ser portuguesa por estar más cerca de Lisboa que de Madrid; Cádiz se convertiría en marroquí; o una parte del litoral mediterráneo, dependería de Argelia. Y el noreste peninsular (Navarra, Aragón, Cataluña), así como el sur de Francia, formarían parte de un país que resultaría extraordinariamente ampliado y cuya capital sería ¡¡Andorra!!

¿Qué es un Diagrama de Voronoi?

Supongamos un plano vacío en el que se distribuyeran aleatoriamente varios núcleos celulares iguales con una capacidad ilimitada de crecimiento concéntrico y cuya extensión se realizara a la misma velocidad en todos los casos. Cada una esas células, conforme fuera desarrollándose, iría apropiándose del espacio contiguo disponible. La única limitación que sufrirían sería el encuentro con el avance de las otras. La “colisión” frenaría la progresión de las células y marcaría una línea de separación que tendría la particularidad de ser equidistante de los núcleos celulares respectivos.

El diagrama de Voronoi construye regiones que incluyen los puntos más cercanos al generador de referencia. El tamaño de cada sector depende de la distancia a los sitios contiguos.

Finalmente, todo el plano quedaría colmatado. El tamaño final de las diferentes células dependería de la distancia que tuvieran respecto a las más próximas. Este es el fundamento geométrico de los Diagramas de Voronoi: la distribución de un plano en sectores, dependientes de unos puntos preexistentes y siguiendo criterios de proximidad, de manera que cada región incluye el conjunto de puntos más cercanos a su centro. Hay otros ejemplos físicos muy expresivos, como el de los caramelos que se disuelven y van generando un cerco a su alrededor o, en tres dimensiones, las burbujas de jabón que crecen diferenciadamente.

Otros ejemplos muy expresivos del mecanismo de construcción de un diagrama de Voronoi, pueden ser el de caramelos que se disuelven y van generando un cerco a su alrededor o, en tres dimensiones, las burbujas de jabón que crecen hasta colmatar un espacio.

El hecho de completar un plano con piezas es algo habitual en la arquitectura, como sucede en las pavimentaciones o en los revestimientos de muros. Pero estos casos son muy distintos porque no existen puntos de referencia y, en consecuencia, todo el espacio disponible se trata por igual (sea un suelo o una pared y teniendo en cuenta que la existencia de huecos no implica cambios al procedimiento). Lo habitual en estos casos es rellenar el espacio con piezas iguales o con un reducido muestrario de modelos. Esto da lugar a soluciones muy conocidas investigadas por la Matemática, que explica como colmatar una superficie plana con piezas que se repiten periódicamente (cumpliendo además la condición de no solaparse ni dejar hueco entre ellas). El conjunto formado recibe el nombre de mosaico y las piezas se denominan teselas (por eso se dice, en matemáticas, “teselar un plano”). En la aplicación arquitectónica, estos revestimientos ofrecen soluciones del máximo interés, como ya comentamos en un artículo anterior de este blog que fue dedicado a la Alhambra de Granada.

Comparación entre la colmatación de un plano: a la izquierda “teselación” con polígonos regulares (Hexágonos en este caso) y a la derecha, distribución según un Diagrama de Voronoi (obviando los puntos generadores necesarios)

Pero, como hemos adelantado, el caso de los Diagramas de Voronoi es muy diferente debido a la presencia de esos puntos generadores. No obstante, tienen igualmente muchas y muy interesantes aplicaciones arquitectónicas y urbanísticas, como apuntaremos en el apartado siguiente.

La primera aproximación a este tipo de distribuciones geométricas se produjo en 1850, cuando el matemático Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) presentó la conocida como Teselación de Dirichlet. Años después, en 1907, Georgy Voronoi (1868-1908) desarrolló esa propuesta y formuló sus propiedades de manera que pasó a ser identificada con su nombre: Diagrama de Voronoi. Poco después, en 1911, Alfred H. Thiessen (1872-1956) aplicó esa técnica a la meteorología y desde esa disciplina recibirían el nombre de Polígonos de Thiessen. No obstante, las tres denominaciones aluden a la misma técnica de repartición geométrica del espacio con criterios de proximidad.

El diagrama puro supone la existencia de un espacio isótropo en el que se ubican, a distancias diferentes, los puntos de referencia (denominados “sitio” o “generador” en terminología matemática). La construcción geométrica es muy sencilla ya que puede realizarse fácilmente con regla y compás. Cada sitio se une con los más cercanos originado una serie de segmentos sobre los que posteriormente se traza la mediatriz, es decir, la línea que reúne los puntos que equidistan de cada uno de los dos puntos generadores considerados (tras ser utilizados, los segmentos conectores se eliminan, aunque, como veremos serán recuperados para trazar la Triangulación de Delaunay). Las intersecciones de las mediatrices generan un polígono convexo que envuelve al generador. Esa mecánica se repite con el resto de sitios, hasta conseguir una sectorización completa del plano cuyas regiones asociadas a cada sitio muestran el conjunto de puntos más cercanos al mismo.

Muestra de los pasos sucesivos para construir un diagrama de Voronoi a partir de unos puntos dados. Las mediatrices de los segmentos que conectan los puntos generadores son las fronteras de los polígonos resultantes.

No obstante, puede complicarse en la medida en la que se incluyan condiciones que distorsionen la homogeneidad inicial. Una primera es que los puntos tengan una jerarquía diferente, un distinto grado de atractivo (volviendo al ejemplo de las células, es como si el crecimiento fuera a velocidades diferentes). Una segunda distorsión puede provenir de la existencia de obstáculos, que condicionan los recorridos de cercanía (la distancia más corta ya no sería recta por la presencia del obstáculo, como sucede en el territorio real que cuenta con ríos, montañas, etc. o incluso caminos trazados por el hombre; y, en el caso de las ciudades, aparecen los edificios o espacios privativos que impiden el paso del movimiento ciudadano, que se restringe al espacio urbano). Estas consideraciones impiden una resolución gráfica sencilla y es necesario recurrir a algoritmos y otras operaciones computacionales.

Un diagrama de Voronoi cuenta con propiedades que lo convierten en una construcción de gran interés operativo. De hecho, resultan fundamentales para la geometría computacional. En Matemáticas, estas representaciones simbólicas de nodos y sus conexiones se denominan grafos y cuentan con una amplia teoría sobre sus particularidades. Una de ellas es la que convierte a dos grafos en duales, cosa que ocurre cuando uno se construye a partir del otro. Esto es lo que sucede con la Triangulación de Delaunay, que es el grafo dual del Diagrama de Voronoi (y viceversa). El nombre reconoce a Borís Delone o Delaunay (1890-1980), el matemático ruso que la caracterizó e ideó su algoritmo. Puede apreciarse que, sobre la misma base espacial y los mismos puntos generadores, mientras el Diagrama de Voronoi muestra regiones poligonales (es decir líneas y vértices) que envuelven a los puntos generadores, la Triangulación de Delaunay ofrece la red formada por estos mismos puntos y las conexiones entre ellos. No todos los conectores son “legales” ya que únicamente se consideran los triángulos cuyo circulo circunscrito no contiene otros puntos (esta disyuntiva surge porque un cuadrilátero tiene dos opciones diagonales de la que solo una es válida según el criterio descrito) y es importante porque afecta a la conectividad de los nodos.

El Diagrama de Voronoi y la Triangulación de Delaunay son grafos duales. Puede apreciarse que, mientras el primero muestra regiones poligonales (es decir líneas y vértices) que envuelven a los puntos generadores, el segundo ofrece la red formada por estos mismos puntos y las conexiones entre ellos. A la derecha, los círculos de comprobación de aristas de la Triangulación de Delaunay (los puntos rojos son los vértices de Voronoi)

Las aplicaciones de estos grafos son muy diversas e interesan en campos muy dispares. Desde luego, el urbanístico, como veremos a continuación, pero también otros más exóticos. Por ejemplo, en el fútbol, para estudiar la posición de los jugadores en el campo, de cara a obtener el máximo control del terreno de juego; o en robótica, para descubrir el recorrido seguro de una máquina por un espacio donde hay obstáculos con los que no debe tropezar.

Los Diagramas de Voronoi se utilizan incluso en el fútbol, para estudiar la posición de los jugadores en el campo de cara a obtener el máximo control del terreno de juego.

Algunas aplicaciones urbanísticas del Diagrama de Voronoi (y de la Triangulación de Delaunay)

El Diagrama de Voronoi y su grafo dual tienen muchas aplicaciones urbanísticas. Un ejemplo clásico es el conocido como problema de la “central nuclear”, o del vertedero, porque hace referencia a la localización de una dotación que no es deseada por quienes la reciben y que debe buscar el sitio más alejado de todos los municipios que se ven afectados. La solución técnica es sencilla (al contrario que la política) ya que la ubicación coincidirá con el centro del mayor círculo vacío que se pueda trazar a partir de tríos de puntos en una triangulación de Delaunay (hay que recordar que tres puntos son suficientes para determinar una circunferencia). Las propiedades de los grafos descritos indican que el centro de ese círculo siempre estará en uno de los vértices del Diagrama de Voronoi correspondiente.

En la imagen, los puntos podían ser la representación de municipios que deben recibir un equipamiento indeseado (como una central nuclear o un vertedero). La solución es localizar el máximo círculo vacío para lo que hay que apoyarse en la Triangulación de Delaunay. El centro del círculo caerá sobre uno de los vértices del Diagrama de Voronoi.

Otra utilización muy habitual es la delimitación de áreas de influencia o sectores servidos por determinados equipamientos. Pensemos, como ejemplo, en la red de Centros de Salud o de farmacias de una ciudad, o también en la de pizzerías que dispongan de servicio a domicilio. Trazando el Diagrama de Voronoi se descubre la región asociada a cada localización, es decir la zona más cercana a ella frente a los otros emplazamientos (competidores privados o alternativas públicas). Analizando esa base podemos obtener informaciones importantes para la planificación urbana, como la población atendida por cada dotación o los equilibrios y déficits existentes entre ellas, datos que pueden servir de base para reestructuraciones, implantación de nuevos servicios, etc. También podemos descubrir cuestiones interesantes desde el punto de vista de los usuarios, quienes pueden averiguar cuál es la farmacia o Centro de Salud más cercano. Igualmente tiene consecuencias comerciales y operativas dado que la cadena de pizzas a domicilio aludida anteriormente puede detectar cual es la tienda desde la que debe prestar el servicio por encontrarse más cerca del peticionario.

En esta línea surge otra aplicación interesante, que consiste en estudiar los efectos que produciría en un entorno consolidado la incorporación de un nuevo elemento, que entraría a competir por una parte de la actividad. Esto es especialmente relevante para Estudios de Mercado que deben analizar las posibilidades de establecimiento de, por ejemplo, una nueva tienda especializada en un barrio concreto donde se enfrentará a las preexistentes. La toma razonada de decisiones empresariales o políticas puede depender de las conclusiones obtenidas de un Diagrama de Voronoi.

Aplicación del Diagrama de Voronoi al análisis de las áreas de influencia de determinados puntos en la ciudad de Londres.

Para terminar, aunque hay muchas más aplicaciones, basta recordar que estos grafos también pueden ayudar a proponer el trazado ideal de, pongamos por caso, una línea de transporte que debe evitar obstáculos (este fue el tema de un ejercicio que se realizó con los estudiantes de la Escuela de Arquitectura de Sevilla cuando se iba a construir la línea 2 del Metro de esa ciudad, investigando cual debía ser el recorrido teórico que minimizara la distancias y afecciones a los monumentos)

En todos los casos, las aplicaciones de los Diagramas de Voronoi y sus duales Triangulaciones de Delaunay recibieron un impulso extraordinario gracias a las posibilidades ofrecidas por los algoritmos desarrollados en la geometría computacional, hasta el punto de convertirse en una herramienta de análisis muy importante en los Sistemas de Información Geográfica (SIG), en la mapificación de resultados procedentes de big data o en aplicaciones de web mapping, wayfinding o sistemas de navegación, todos ellos imprescindibles en el mundo actual.